Materialien zum Unterricht

Myas Welt der Physik: Vollgas, Mya! – Überholen, Treffpunkte und ein Raketenstart

Sonntag bei Mya: Erst will sie in ihrem liebevoll restaurierten Trabi an Nachbar Kowalski und seinem Mistwagen vorbei, dann jagen sich Theo, Paul und Kater Erwin quer durchs Dorf, und zum Schluss startet auf der Wiese hinter dem Kleingarten die Modellrakete „Mya I“. Astronautin ist natürlich Lumi. Sie wiegt als Lichtfleck genau 0 Gramm und ist damit die ideale Nutzlast.

Physik Klasse 11, Kinematik geradliniger Bewegungen (Anwendungen). Die Sprüche sind albern, die Zahlen nicht: Alle Bewegungen werden mit den Bewegungsgesetzen x(t) = x₀ + v₀ t + ½ a t² und v(t) = v₀ + a t gerechnet, die Rakete Schritt für Schritt mit einem numerischen Modell. Fahrzeuge auf der Straße sind maßstabsgetreu, Personen nicht. Mit Profi markierte Teile gehen etwas weiter. Weiter geht es auf den Seiten Newtonsche Gesetze und Impuls und Stöße (dort steckt auch der Rückstoß der Rakete).

Myas Sicherheitsregel: Überholt wird nur, wenn man die ganze Überholstrecke plus Gegenverkehr sicher überblickt. Modellraketen nur mit zugelassenen Motoren, mit Erwachsenen und auf freiem Gelände starten. Und nie mit Kater Erwin an Bord.

Station 1: Kowalskis Mistwagen – Überholen auf der Landstraße

Kowalski tuckert mit Traktor und Anhänger (zusammen 12 m lang) vor Myas Trabi (3,5 m) her. Mya will vorbei. Sie schert mit dem Sicherheitsabstand d_vor hinter dem Anhänger aus und erst wieder ein, wenn ihr Heck den Abstand d_nach vor dem Traktor hat. Entweder kommt sie schon mit höherer Geschwindigkeit angerauscht (fliegend, gleichförmig), oder sie fährt erst brav hinterher und gibt dann Gas (aus der Kolonne, gleichmäßig beschleunigt bis zur Höchstgeschwindigkeit). Oben siehst du die ganze Strecke im Kleinen, rechts oben das Cockpit mit Tacho.

Zeit t–

Myas Tempo–

Überholweg bisher–

Abstand zum Bus–

Trabi (Front und Heck)Traktor mit Anhänger (Heck und Front)Bus (Front)

Myas Plan

Myas Tempo

Kowalskis Traktor

Tempo

d_vor

d_nach

Gegenverkehr Linienbus kommt entgegen (12 m)

Tempo

Entfernung

Forschungsaufträge: ① Traktor 25 km/h, Mya fliegend mit 50 km/h: Wie lange dauert das Überholen, wie weit fährt Mya dabei? Was ändert sich bei 75 km/h? ② Finde mit Bus (70 km/h) die kleinste Entfernung, bei der es gerade noch gut geht. Vergleiche mit der Rechnung. ③ Stelle den Traktor auf 40 km/h und Mya auf 50 km/h. Warum ist das Überholen eines fast gleich schnellen Fahrzeugs so gefährlich? ④ Profi Schalte das Diagramm auf „Bezugssystem Traktor“. Welche Geschwindigkeit hat Mya dort, und welche Strecke muss sie relativ zum Traktor zurücklegen?

Rechnung zum eingestellten Überholvorgang

Station 2: Wer trifft wen? – Treffpunkte im Dorf

Zwei bewegen sich auf derselben Straße. Wann und wo treffen sie sich? Der Trick ist immer derselbe: Für beide das Weg-Zeit-Gesetz x(t) aufstellen, und zwar mit derselben Uhr und demselben Nullpunkt. Dann gleichsetzen: x_A(t) = x_B(t). Gib erst deinen Tipp ab, dann lass die beiden laufen.

Zeit t–

Abstand–

Welcher Fall?

Dein Tipp: Treffpunkt

t =s x =m

Station 3: Countdown auf Myas Wiese – der Raketenstart

Theo und Paul haben die Modellrakete „Mya I“ gebaut (Durchmesser 4 cm, Fallschirm 40 cm). Lumi sitzt im Bullauge. Der Motor drückt eine Weile mit der Schubkraft F_S, danach fliegt die Rakete antriebslos weiter. Nach einer Verzögerungszeit stößt eine kleine Ladung den Fallschirm aus. Das Spannende: Die Rakete wird beim Brennen leichter, und die Luft bremst umso stärker, je schneller sie ist. Das ist keine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mehr. Darum rechnen wir in winzigen Zeitschritten Δt: In jedem Schritt Kräfte bestimmen, daraus a, damit v und h ein Stückchen weiterrechnen. Vergleiche drei Modelle, die immer näher an die Wirklichkeit rücken.

Zeit t–

Höhe h–

Geschw. v–

Beschl. a–

Masse m–

Modell

Motor

Rakete leer

Verzögerung

Rechnen

Zeitlupe in der Brennphase

Forschungsaufträge: ① Starte mit Motor B in allen drei Modellen. Wie stark unterscheiden sich die Gipfelhöhen? Welcher Effekt ist wichtiger: Massenabnahme oder Luftreibung? ② Prüfe Modell ① mit den Formeln der gleichmäßig beschleunigten Bewegung (Kasten unten). Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du Δt = 0,2 s wählst? ③ Wähle die Verzögerung so, dass der Fallschirm ungefähr im Gipfelpunkt kommt. Was passiert bei zu kurzer oder zu langer Verzögerung? ④ Wie schwer darf die Rakete mit Motor A höchstens sein, damit sie überhaupt abhebt? ⑤ Profi Lies im Modell ③ die Sinkgeschwindigkeit am Fallschirm ab und vergleiche mit v = √(2mg / (c_w ρ A)).

Flugdaten

Noch kein Flug. Drück auf „Countdown!“.

So rechnet das Modell (Euler-Verfahren)

Für jeden Zeitschritt Δt:

m = m₀ − μ · t (Modell ①: m = m₀)

F_L = ½ · c_w · ρ · A · v² (nur Modell ③)

a = (F_S − m · g − F_L) / m

h_neu = h + v · Δt, v_neu = v + a · Δt

μ = Treibstoffmasse / Brenndauer, c_w = 0,75 (Rakete) bzw. 1,5 (Schirm), ρ = 1,2 kg/m³. Die Luftreibung wirkt immer gegen die Bewegungsrichtung.

Rechentabelle: die ersten Schritte

Station 4: Rechne selbst

t = s

Tipps

km/h in m/s: durch 3,6 teilen. Erst umrechnen, dann rechnen!
Überholstrecke relativ zum Langsameren: s_rel = d_vor + l₁ + l₂ + d_nach, Überholzeit t = s_rel / (v₁ − v₂).
Beschleunigt aus gleichem Tempo: s_rel = ½ a t².
Treffpunkt: x_A(t) = x_B(t) ansetzen, nach t auflösen, dann x ausrechnen.
Rakete mit konstanter Masse: a = F_S / m − g; nach Brennschluss steigt sie noch v² / (2g) höher.

Merke – Anwendungen der Bewegungsgesetze:

Gleichförmige Bewegung: x(t) = x₀ + v · t. Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: x(t) = x₀ + v₀ t + ½ a t², v(t) = v₀ + a t, ohne Zeit: v² = v₀² + 2a(x − x₀).
Überholen: Am einfachsten im Bezugssystem des Langsameren. Dort muss der Überholende die Strecke s_rel = d_vor + l₁ + l₂ + d_nach mit der Relativgeschwindigkeit v₁ − v₂ zurücklegen. Kleiner Geschwindigkeitsunterschied → sehr lange Überholzeit und riesiger Überholweg s_Ü = v₁ · t_Ü.
Gegenverkehr: Die freie Sicht muss mindestens s_Ü + v_G · t_Ü betragen, denn der Entgegenkommende fährt während des Überholens auch.
Treffpunkte: Für alle Körper dieselbe Zeitzählung und denselben Koordinatenursprung wählen, Richtung beachten (Entgegenkommende haben negative Geschwindigkeit), später Startende mit (t − t_Start) ansetzen. Dann x_A(t) = x_B(t). Im x(t)-Diagramm ist der Treffpunkt der Schnittpunkt der Graphen. Lösungen immer prüfen: Gilt die Gleichung zu dieser Zeit überhaupt noch (z. B. nach dem Stillstand beim Bremsen)?
Raketenstart: Die Beschleunigung ist nicht konstant: Die Masse nimmt ab, die Luftreibung F_L = ½ c_w ρ A v² wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit. Die Rakete hebt nur ab, wenn F_S > m · g. Nach Brennschluss ist sie ein senkrechter Wurf nach oben (mit Luftreibung: bremst stärker).
Modellieren: Bei veränderlicher Beschleunigung rechnet man schrittweise (Euler-Verfahren): a = F_res / m, v_neu = v + a Δt, h_neu = h + v Δt. Je kleiner Δt, desto genauer. Ein Modell ist immer eine Vereinfachung, man prüft es am Experiment.
Fallen mit Luftreibung: Die Geschwindigkeit wächst nur, bis die Luftreibung so groß ist wie die Gewichtskraft. Dann fällt der Körper gleichförmig mit der Grenzgeschwindigkeit v_gr = √(2mg / (c_w ρ A)). Darum funktioniert ein Fallschirm nur mit Luft.

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