Myas Welt der Physik: Ganz genau ungefähr! – Mya und die Messunsicherheit
Großer Streit im Kleingarten: Mya behauptet, ihre Zucchini sei „exakt 47 Zentimeter“ lang. Nachbar Kowalski hat 47,3 cm gemessen und will den Pokal.
„Wer hat recht?“ fragt Theo. „Vielleicht beide“, sagt Paul. „Vielleicht keiner“, sagt Mya und holt ihre bunt beklebte Messkiste aus dem Gartenhaus.
Mit dabei: Lumi, der Lichtfleck. Lumi ist schneller als jede Stoppuhr und kennt in dieser Simulation als Einziger den wahren Wert. (Im echten Leben kennt den niemand. Auch Lumi nicht.)
Physik Klasse 11 (Leistungskurs). Die Sprüche sind albern, die Zahlen nicht: Die Fallzeiten werden mit t = √(2h/g) und g = 9,81 m/s² berechnet,
die Geräte haben echte Genauigkeitsangaben. Mit Profi markierte Teile gehen etwas weiter.
Wir schreiben ein Messergebnis immer so: Messwert ± Messunsicherheit, zum Beispiel t = (0,64 ± 0,03) s.
Station 1: Das Stoppuhr-Duell – woher kommt die Unsicherheit?
Theo steht auf Myas Gartenhocker und lässt einen Tennisball aus genau 2,00 m Höhe fallen. Wie lange braucht er bis zum Rasen?
Wähle, wer die Zeit stoppt. Zuerst bist du dran: Tippe auf „Theo, lass fallen!“, starte die Stoppuhr, sobald der Ball losfliegt, und stoppe, wenn er aufschlägt.
Dann dürfen Mya (Brille verlegt), Paul (will immer schneller sein als der Ball) und Lumi (mit Lichtschranke) ran.
Alle Messreihen
Wer
n
t̄ in s
tmin … tmax
Δt = halbe Spannweite
s/√n Profi
Abweichung
Aufträge: ① Miss selbst mindestens 8-mal. Wie stark streuen deine Werte, und warum?
② Lass Mya und Paul je 10-mal messen. Wer misst präziser (geringe Streuung), wer richtiger (Mittelwert nah am wahren Wert)?
③ Zeige Lumis Wert und bestimme die Messabweichungen der Mittelwerte. ④ Warum hilft es bei Paul nicht, 100-mal zu messen?
Station 2: Myas Messgeräte-Kiste – richtig ablesen
Jedes Messgerät hat seine Grenzen. Mya hat vier Lieblingsstücke in der Kiste. Lies den Messwert ab und schätze die Messunsicherheit.
Faustregeln: Bei einer Skala liest man auf einen halben Skalenteil genau ab. Bei Zeigermessgeräten gibt die Genauigkeitsklasse die Unsicherheit in Prozent vom Messbereichsendwert an.
Bei Digitalgeräten steht im Datenblatt so etwas wie „± (0,8 % + 3 Digits)“.
cmcm
Station 3: Messabweichung oder Messunsicherheit? – Das Dart-Turnier
Zwei Begriffe, die ständig verwechselt werden:
Die Messabweichung ist der Unterschied zwischen Messwert und wahrem Wert (mit Vorzeichen). Die kennt man fast nie.
Die Messunsicherheit gibt an, in welchem Bereich um den Messwert der wahre Wert vermutlich liegt. Die kann (und muss) man immer angeben.
Beim Dart-Abend im Vereinsheim sieht man den Unterschied: Die Mitte der Scheibe ist der wahre Wert, jeder Pfeil ein Messwert. Abweichung und Streuung werden in Scheibenradien angegeben.
Theo–
Paul–
Mya–
Kater Erwin–
Aufträge: ① Wer wirft richtig (keine systematische Abweichung), wer präzise (kleine zufällige Streuung)? ② Was ändert Myas Brille, was die Kalibrierung bei Paul?
③ Paul wirft 1000 Pfeile. Trifft sein Mittelpunkt dann die Mitte? ④ Sortiere die Aussagen unten.
Sortier-Spiel 1: Welche Art von Messabweichung?
Sortier-Spiel 2: Messabweichung oder Messunsicherheit?
Station 4: Die Unsicherheits-Werkstatt – rechnen mit unsicheren Werten
Wer mit Messwerten rechnet, rechnet ihre Unsicherheiten mit. Für eine Abschätzung nach oben (Größtabweichung) gelten zwei einfache Regeln:
Summen und Differenzen (a + b, a − b): Die absoluten Unsicherheiten addieren sich: Δy = Δa + Δb.
Produkte und Quotienten (a · b, a / b): Die relativen Unsicherheiten addieren sich: Δy/y = Δa/a + Δb/b. Bei Potenzen wie t² zählt die relative Unsicherheit doppelt.
Mya hat einige Aufgaben aus dem Kleingarten mitgebracht. Wähle eine aus und verändere Messwerte und Unsicherheiten.
Station 5: Myas Diagramm-Werkstatt – Fehlerkreuze und Grenzgeraden
Mya will es diesmal ganz professionell machen und die Messwerte in ein Diagramm eintragen. Jeder Messpunkt bekommt ein Fehlerkreuz: einen waagerechten Balken für die Unsicherheit in x-Richtung und einen senkrechten für die in y-Richtung.
Danach kommt die Ausgleichsgerade, und aus der steilsten und der flachsten Geraden, die gerade noch durch alle Fehlerkreuze passen, folgt die Unsicherheit der Steigung.
Station 6: Rechne selbst
m
Tipps
Summe, Differenz: Δy = Δa + Δb (auch bei Minus wird addiert!).
Produkt, Quotient: Δy/y = Δa/a + Δb/b, danach Δy = y · (Δy/y).
Relative Unsicherheit in Prozent: Δa/a · 100 %.
Profi Potenz: y = an → Δy/y = |n| · Δa/a. Konstante Faktoren (wie die 2 in 2h) haben keine Unsicherheit.
Rechne mit allen Stellen und runde erst das Endergebnis. Hier wird auf 5 % genau geprüft.
Merke – Messunsicherheiten:
Kein Messwert ist exakt. Ein vollständiges Messergebnis besteht aus Messwert, Messunsicherheit und Einheit: l = (23,4 ± 0,1) cm. Der wahre Wert liegt mit großer Wahrscheinlichkeit in diesem Intervall.
Ursachen der Unsicherheit: das Messgerät (Skalenteilung, Auflösung, Genauigkeitsklasse), das Ablesen (Parallaxe, Schätzen zwischen Strichen), die Person (Reaktionszeit), das Messobjekt (keine scharfen Kanten, Meniskus) und die Umgebung (Temperatur, Luftzug, Erschütterungen).
Messabweichung = Messwert − wahrer Wert. Systematische Abweichungen verschieben alle Messwerte in dieselbe Richtung (falsch kalibriertes Gerät, vergessenes Tarieren, Ablesen immer von oben). Man findet sie durch Vergleich mit einem besseren Verfahren und kann sie dann korrigieren. Wiederholen hilft nicht.
Zufällige Abweichungen streuen nach oben und unten (schwankende Reaktionszeit, Zittern). Man verkleinert ihren Einfluss, indem man oft misst und den Mittelwert bildet. Einfache Abschätzung: Δx ≈ (xmax − xmin) / 2. Profi Die Unsicherheit des Mittelwerts sinkt mit s/√n.
Grobe Fehler (Verlesen, Zahlendreher, Kater auf der Waage) sind keine Messunsicherheit. Solche Messungen werden verworfen und wiederholt.
Die Messunsicherheit ist eine Angabe über den Zweifel am Ergebnis, die Messabweichung eine Aussage über den Fehler. Die Unsicherheit kann man immer abschätzen, die Abweichung nur, wenn man den wahren Wert (näherungsweise) kennt.
Diagramme: Jeder Messpunkt bekommt ein Fehlerkreuz (Balken ± Δx waagerecht, ± Δy senkrecht). Die Ausgleichsgerade verbindet nicht die Punkte, sondern läuft mitten durch die Punktwolke und möglichst durch alle Fehlerkreuze. Die steilste und die flachste Gerade, die noch durch alle Fehlerkästen passen, liefern m = (mmax + mmin)/2 und Δm = (mmax − mmin)/2.
Absolute Unsicherheit Δx hat die Einheit der Größe, die relative Unsicherheit Δx/x ist eine reine Zahl, meist in Prozent.
Summen, Differenzen: absolute Unsicherheiten addieren. Produkte, Quotienten: relative Unsicherheiten addieren. Vorsicht bei Differenzen fast gleich großer Werte: Die relative Unsicherheit wird riesig (Kater Erwin auf Myas Waage).
Die Unsicherheit wird auf ein bis zwei gültige Ziffern aufgerundet, der Messwert wird an derselben Stelle gerundet. Faustregel: Beginnt die Unsicherheit mit einer 1, behält man zwei Ziffern, sonst eine. Aus 9,6274 ± 0,4189 wird (9,6 ± 0,5) m/s², aus 23,472 ± 0,123 wird (23,47 ± 0,13) cm.