Bobby, das 500-g-Hakengewicht mit Gesicht, liebt das Hin und Her. Seit Wochen hängt er an Opa Ferdinand, der Feder mit D = 50 N/m, und wippt mit seiner Eigenfrequenz von 1,59 Hz vor sich hin. Das ist ihm inzwischen zu langweilig. Also baut Paul, der Praktiker, ihm einen Antrieb: Brummi, einen kleinen Getriebemotor mit Gesicht, der Opa Ferdinands Aufhängung im Takt auf und ab schiebt. „Jetzt schwingst du, wann ich will“, brummt Brummi. Bobby ist begeistert, Opa Ferdinand weniger: Er verträgt höchstens 6 N, und Bobby zieht schon im Ruhezustand mit 4,9 N an ihm. Theo, der Theoretiker, rechnet vorsichtshalber mit, Mya misst, und Kater Erwin reibt sich wie immer an seinem HT-Rohr. Was kann bei so viel Begeisterung schon schiefgehen?
Physik Klasse 12 (Leistungskurs), Thema Schwingungen: erzwungene Schwingung, Einschwingvorgang, Resonanz, Phasenverschiebung, Energiebilanz. Die Sprüche sind albern, die Physik nicht: Alle Bewegungen sind exakte Lösungen der Bewegungsgleichung m · ẍ = −D · (x − s) − b · ẋ mit Bobbys echten Daten (m = 0,5 kg, D = 50 N/m, ω0 = 10 s−1). Vorher sinnvoll: harmonische Schwingungen und gedämpfte Schwingungen. Danach: Resonanz im elektromagnetischen Schwingkreis. Und wenn viele Bobbys gekoppelt werden: Bobby macht die Welle (mechanische Wellen).
Brummi dreht eine Scheibe mit einem Zapfen, der in einem waagerechten Schlitz läuft (Kreuzschleife). Dadurch bewegt sich Opa Ferdinands Aufhängepunkt exakt sinusförmig: s(t) = ŝ · sin(Ω · t). Bobby hängt darunter und wird je nach Wahl nur von Luft (und der inneren Reibung in Opa Ferdinand), von einer Wirbelstrombremse aus zwei Neodym-Magneten oder von Pauls Frühstückshonig gedämpft. Die Wirbelströme im Messing-Bobby bremsen mit F = −b · v, genau so, wie die Bewegungsgleichung es verlangt (Werte wie auf der Dämpfungsseite). Die Auslenkungen im Bild sind etwa in Originalgröße (Maßstab am Lineal). Rechts zeigt das Opa-o-Meter, mit welcher Kraft Opa Ferdinand gerade gezogen wird.
Aufträge: ① Schalte Brummi bei 0,5 Hz ein. Wie bewegt sich Bobby im Vergleich zum Aufhängepunkt, wenn die Einschwingzeit vorbei ist? ② Wiederhole bei 3 Hz. Was fällt dir bei Amplitude und Bewegungsrichtung auf? ③ Wähle „Schwebung“. Warum schwillt Bobbys Ausschlag an und ab? Bestimme die Schwebungsdauer und vergleiche mit 1 / |f0 − fE|. ④ Blende die beiden Lösungsanteile ein. Welcher stirbt aus, welcher bleibt? Wie hängt die Einschwingdauer von δ ab? ⑤ Wage dich mit Luftdämpfung und 1 cm an 1,59 Hz heran. Was passiert mit Opa Ferdinand?
Theo leitet her: Bobby ist um x nach oben ausgelenkt, die Aufhängung um s. Opa Ferdinand ist dann um s − x zusätzlich gedehnt (die Gewichtskraft hebt sich mit der Ruhedehnung von 9,81 cm weg). Mit der Reibungskraft −b · ẋ gilt
m · ẍ = D · (s − x) − b · ẋ ⇒ ẍ + 2δ · ẋ + ω0² · x = ω0² · ŝ · sin(Ωt) mit δ = b / (2m), ω0² = D / m.
Die allgemeine Lösung ist die Summe aus der Lösung der homogenen Gleichung (die gedämpfte Eigenschwingung, sie klingt mit e−δt ab) und einer partikulären Lösung, die im Takt des Erregers schwingt:
x(t) = e−δt · (C1 cos ωdt + C2 sin ωdt) + A · sin(Ωt − φ), ωd = √(ω0² − δ²)
A = ŝ · ω0² / √((ω0² − Ω²)² + 4δ²Ω²), tan φ = 2δΩ / (ω0² − Ω²), 0 ≤ φ ≤ 180°.
C1 und C2 folgen aus den Anfangsbedingungen. Genau so rechnet die Simulation, bei jeder Änderung an den Reglern neu.
Mya will wissen, wie weit Bobby bei jeder Erregerfrequenz ausschlägt. Ihre Regel: Erst einschwingen lassen, dann messen! Nach jeder Frequenzänderung muss der homogene Anteil abgeklungen sein, sonst misst sie Unsinn. Mit dem Vorspul-Knopf vergehen 10 Sekunden auf einen Schlag. Aber Vorsicht: Opa Ferdinand hat nur 6 N − 4,9 N = 1,1 N Reserve, also 2,19 cm Zusatzdehnung. Wird er weiter gedehnt, ist er hinüber.
| Nr. | Dämpfung | fE in Hz | A gemessen in mm | A berechnet in mm | Abweichung |
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Noch keine Messpunkte. Stelle eine Frequenz ein, warte und tippe auf „Messpunkt notieren“.
Aufträge: ① Nimm mit „Magnete weit“ eine Resonanzkurve von 0,2 Hz bis 3 Hz auf (mindestens 12 Punkte, nahe 1,6 Hz dichter). Vergleiche dann mit der berechneten Kurve. ② Wiederhole mit „Magnete nah“ (ŝ größer wählen). Wie ändern sich Höhe, Breite und Lage des Maximums? Und was ist im Honig los? ③ Bestätige ωR = √(ω0² − 2δ²) für „Magnete nah“. Warum gibt es für δ > ω0 / √2 = 7,07 s−1 überhaupt kein Maximum mehr? ④ Bei Luftdämpfung kommt Mya nicht über die Resonanz. Welche Erregeramplitude dürfte sie höchstens einstellen? ⑤ Was misst du bei 0,2 Hz und bei 4 Hz, unabhängig von der Dämpfung? Erkläre.
Mya schickt Brummi in die Pause und nimmt Opa Ferdinand selbst in die Hand. Sie schüttelt ihn langsam, dann im Eigentakt, dann ganz schnell. Bobby schwingt mit, aber nicht immer im gleichen Takt wie ihre Hand. Das Zeigerdiagramm macht es sichtbar: Der orange Zeiger dreht mit der Erregerfrequenz, seine Projektion auf die senkrechte Achse ist die Handbewegung s(t). Bobbys blauer Zeiger läuft um den Winkel φ hinterher. Hier ist der Einschwingvorgang schon vorbei: Wir schauen nur den stationären Zustand an.
Aufträge: ① Schüttle langsam. Bewegen sich Hand und Bobby gleichphasig oder gegenphasig? Lies φ ab. ② Schüttle im Eigentakt. Wo steht Bobby, wenn Myas Hand oben ist? Wie groß ist φ jetzt, egal welche Dämpfung? ③ Schüttle hektisch. Warum bleibt Bobby fast stehen, und warum bewegt er sich gegen die Hand? ④ Vergleiche die Phasenkurven: Was macht die Dämpfung mit dem Übergang von 0° nach 180°? ⑤ Mit weit entfernten Magneten im Eigentakt schütteln? Probiere es aus und erkläre das Ergebnis mit Station 2.
Ohne Brummi würde Bobby durch die Dämpfung irgendwann einschlafen. Im stationären Zustand bleibt seine Amplitude konstant. Also muss Brummi im Mittel genau so viel Energie nachliefern, wie die Dämpfung in Wärme umwandelt. Brummis Leistung ist PE = D · (s − x) · ṡ (Kraft mal Geschwindigkeit des Aufhängepunkts; der Anteil m·g·ṡ ist im Mittel null und weggelassen), die Dämpfung verheizt PR = b · ẋ². Paul hat den Exzenter auf ŝ = 2 mm gestellt.
Aufträge: ① Starte aus der Ruhe. Vergleiche während des Einschwingens und danach die beiden Mittelwerte. Wohin geht die Differenz am Anfang? ② Warum wird PE zeitweise negativ? Wer liefert dann Energie an wen? ③ Suche die Frequenz mit der größten Leistungsaufnahme. Liegt sie bei fR oder bei f0? Wie groß ist dort φ? ④ Zeige mit P̄ = ½ · D · ŝ · Ω · A · sin φ, warum bei 0° und 180° kaum Energie übertragen wird.
Resonanz ist überall, mal nützlich, mal teuer, mal einfach laut. Paul hat sechs Fälle gesammelt, Theo hat jeden auf Richtigkeit geprüft. Wähle einen Fall aus.
Aufträge: ① Finde bei der Schaukel heraus, in welchem Moment Paul anschieben muss. Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen Kraft und Auslenkung, wie groß zwischen Kraft und Geschwindigkeit? ② Erkläre bei der Waschmaschine, warum sie beim Hochfahren kurz rumpelt und bei 1400 Umdrehungen pro Minute wieder ruhig läuft. ③ Warum war Tacoma Narrows streng genommen keine erzwungene Resonanz?
Brummi erzählt in den Pausen gern Geschichten über berühmte Resonanzen. Ein paar davon hat er sich ausgedacht. Welche?